求教理工大学的数学高手证明题1.若齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A是一个秩为r的型矩阵,则AX=0的任意n-r线性无关的解向量都是AX=0的基础解系.2.设是数域F上线性空间V的线性变换,是V的-子

Question

求教理工大学的数学高手
证明题
1.若齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A是一个秩为r的 型矩阵,则AX=0的任意n-r线性无关的解向量都是AX=0的基础解系.
2.设 是数域F上线性空间V的线性变换,是V的 -子空间.求证：
1) V的如下两个子集都是V的 -子空间：
.
2) 若 ,且 可逆,则 .
3.证线性空间V的线性变换 为数乘变换的充要条件是V的每个非0向量都是 的特征向量.
五、 简答题
1、 多项式（整数）的最大公因式是否唯一?
2、 如何求出两个整数的最大公约数?如何求出多个整数的最大公约数?
3、 如何求出两个多项式的最大公因式?如何求出多个多项式的最大公因式?
4、 整数的最大公约数与整数之间有什么关系?
5、 多项式的最大公因式与多项式之间有什么关系?
6、 多项式的可约性、多项式的最大公因式、多项式的根那些与基础域有关?
7、 什么是对称多项式、初等对称多项式,他们之间有何关系?
8、 什么是多项式的典型分解式?
9、 一个多项式何时有重根,如何确定一个多项式的根的重数?
10、 互素的整数有些什么性质?
11、 互素的多项式有些什么性质?
12、 素数和不可约多项式有些什么共同性质?
13、 那种行列式的初等变换会改变行列式的值?
14、 什么叫做齐次线性方程组的解空间?基础解系与解空间的基有何关系?
证明题不用做,谁帮我做完简答题,我就把分给他.

Answer 1

1、 多项式（整数）的最大公因式是否唯一?
是
2、 如何求出两个整数的最大公约数?如何求出多个整数的最大公约数?
两个整数用辗转相除法.多个整数,前两个用辗转相除法得出最大公约数d1,d1再和第三个数辗转相除得d2,以此类推,可得.
3、 如何求出两个多项式的最大公因式?如何求出多个多项式的最大公因式?
方法同上,只是辗转相除的对象成了多项式而已!
4、 整数的最大公约数与整数之间有什么关系?
最大公约数能整出这些整数,而且满足这一性质中最大的一个落!
5、 多项式的最大公因式与多项式之间有什么关系?
同上!
6、 多项式的可约性、多项式的最大公因式、多项式的根那些与基础域有关?
次数大于一的多项式在复数域都都可约,有实数域可以分解为不超过二次多项式的乘积,有理数域整数域则比较复杂,这里说不清楚.
根在不同的域上可以不同,不过在整数域里有根,肯定在有理数域有根（且是相同的根）,有理数域上有根,实数域上有相同的根,等等
7、 什么是对称多项式、初等对称多项式,他们之间有何关系?
对称多项式对于多项式中有多个变元的多项式而言.通俗的说,不管你怎么交换任意多个变元的位置,多项式始终等于原来的那个.初等多项式我好像没有听过.才大一,见谅!
8、 什么是多项式的典型分解式?
估计就是在复数域上分解吧,可以唯一分解成首相系数为一的一次因式的乘积.
9、 一个多项式何时有重根,如何确定一个多项式的根的重数?
求导!如果一个多项式的根也是它的1、2.N-1阶倒数的根,而又不是它N阶导数的根,那么这个根就是它的N重根.
10、 互素的整数有些什么性质?
最大公约数唯一,且如果P与Q互素,则必存在整数U、V使得：UP+VQ=1
11、 互素的多项式有些什么性质?
把上面的V、U改成V(X)、U(X)就可以了.
12、 素数和不可约多项式有些什么共同性质?
都不可约!
13、 那种行列式的初等变换会改变行列式的值?
交换两行（列）,行列式的值反号（偶数次就不变了）.把某一行（列）乘以一个常数K,行列式的值变为原来K倍（如果行列式的值为0当然也不会变落）
14、 什么叫做齐次线性方程组的解空间?如何求解空间?基础解系与解空间的基有何关系?
把解看作列向量,由这些列向量组成的空间即为解空间.求解的一般方法就是初等行变换成三角矩阵,在求解.基础解系可以作为解空间的基,两者是等价关系.（其实可以认为它们是相同的）