如何理解样本方差中的自由度?样本方差,样本中n个数据与均数的差(离均差)的平方的和(离均差平方和),这个和的平均数(方差).那么为何在算方差时候,要把离均差平方和除以n-1,而不是除以n,.

Question

如何理解样本方差中的自由度?
样本方差,样本中n个数据与均数的差(离均差)的平方的和(离均差平方和),这个和的平均数(方差).那么为何在算方差时候,要把离均差平方和除以n-1,而不是除以n,.

Answer 1

总体方差为σ?,均值为μ
S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2.+(Xn-X)^2]/(n-1)
X表示样本均值=(X1+X2+...+Xn)/n
设A=(X1-X)^2+(X2-X)^2.+(Xn-X)^2
E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2.+(Xn-X)^2]
=E[(X1)^2-2X*X1+X^2+(X2)^2-2X*X2+X^2+(X2-X)^2.+(Xn)^2-2X*Xn+X^2]
=E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(X1+X2+...+Xn)]
=E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(nX)]
=E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2-nX^2]
而E(Xi)^2=D(Xi)+[E(Xi)]^2=σ?+μ?
E(X)^2=D(X)+[E(X)]^2=σ?/n+μ?
所以E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2.+(Xn-X)^2]
=n(σ?+μ?)-n(σ?/n+μ?)
=(n-1)σ?
所以为了保证样本方差的无偏性
S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2.+(Xn-X)^2]/(n-1)
E(S)=(n-1)σ?/(n-1)=σ?自由度也可以解释,不是有n个与均值偏差的平方和吗?正好这n个表达式之和等于0,也就是说本来n维自由度的,受限于一个条件.所以变成了n－1维了.无偏性最为根本,才是修正的根本原因.