设k,r是实数且r大于0,直线y=kx+1既与圆x方+y方=1相切,又与双曲线x方-y方=r方有两个不同的交点.1.求证：1/r方-k方=1且k的绝对值不等于12.直线y=kx+1能否经过双曲线x方-y方=r方的焦点?为什么?

Question

设k,r是实数 且r大于0,直线y=kx+1既与圆x方+y方=1相切,又与双曲线x方-y方=r方有两个不同的交点.1.求证：1/r方 -k方=1 且k的绝对值不等于1 2.直线y=kx+1能否经过双曲线x方-y方=r方的焦点?为什么?

Answer 1

解(1)因为直线y=kx+1与圆x2+y2=r2相切,所以有=r,∴=r2,∵r2≠0,∴-k2=1,又由于直线y=kx+1与双曲线x2-y2=r2相交,故交点坐标(x,y)满足方程组,将①代入②得(1-k2)x2-2kx-(1+r2)=0 ③,因直线与双曲线有两个交点,且对任意实数k,直线不平行y轴,故③有两个不同的实数根,因此1-k2≠1,∴｜k｜≠1
(2)双曲线x2-y2=r2的过点是F1(-r,0),F2(r,0),若直线y=kx+1过点F1,则 - rk+1=0,即k=,又由(1)结论-k2=1得k2=1与｜k｜≠1矛质.故直线y=kx+1不可能过双曲线x2-y2=r2的左焦点,同理可得,直线y=kx+1也不可能过双曲线x2-y2=r2的右焦点.