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(2013•四川)设函数f(x)=ex+x−a(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是()A.[1,e]B.[1,1+e]C.[e,1+e]D.[0,1]
题目详情
(2013•四川)设函数f(x)=
(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是( )
A.[1,e]
B.[1,1+e]
C.[e,1+e]
D.[0,1]
ex+x−a |
A.[1,e]
B.[1,1+e]
C.[e,1+e]
D.[0,1]
▼优质解答
答案和解析
由f(f(b))=b,可得f(b)=f-1(b)
其中f-1(x)是函数f(x)的反函数
因此命题“存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立”,转化为
“存在b∈[0,1],使f(b)=f-1(b)”,
即y=f(x)的图象与函数y=f-1(x)的图象有交点,
且交点的横坐标b∈[0,1],
∵y=f(x)的图象与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,
∴y=f(x)的图象与函数y=f-1(x)的图象的交点必定在直线y=x上,
由此可得,y=f(x)的图象与直线y=x有交点,且交点横坐标b∈[0,1],
根据
=x,化简整理得ex=x2-x+a
记F(x)=ex,G(x)=x2-x+a,在同一坐标系内作出它们的图象,
可得
,即
,解之得1≤a≤e
即实数a的取值范围为[1,e]
故选:A
其中f-1(x)是函数f(x)的反函数
因此命题“存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立”,转化为
“存在b∈[0,1],使f(b)=f-1(b)”,
即y=f(x)的图象与函数y=f-1(x)的图象有交点,
且交点的横坐标b∈[0,1],
∵y=f(x)的图象与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,
∴y=f(x)的图象与函数y=f-1(x)的图象的交点必定在直线y=x上,
由此可得,y=f(x)的图象与直线y=x有交点,且交点横坐标b∈[0,1],
根据
ex+x−a |
记F(x)=ex,G(x)=x2-x+a,在同一坐标系内作出它们的图象,
可得
|
|
即实数a的取值范围为[1,e]
故选:A
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