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设函数f(x)=ex+x2-a(a∈R,e为自然对数的底数),若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围设函数f(x)=ex+x2-a(a∈R,e为自然对数的底数),若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立
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设函数f(x)=ex+x2-a(a∈R,e为自然对数的底数),若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围
设函数f(x)=ex+x2-a(a∈R,e为自然对数的底数),若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是______.
设函数f(x)=ex+x2-a(a∈R,e为自然对数的底数),若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是______.
▼优质解答
答案和解析
∵存在b∈[0,1],使f(f(b))=b成立
∴存在b∈[0,1],使f(b)=f-1(b)
即函数f(x)与其反函数f-1(x)在[0,1]上有交点
∵f(x)=ex+x2-a在[0,1]上为增函数
∴函数f(x)与其反函数f-1(x)在[0,1]的交点在直线y=x上,
即函数f(x)与其反函数f-1(x)的交点就是f(x)与y=x的交点
令:ex+x2-a=x,则方程在[0,1]上一定有解
∴a=ex+x2-x
设g(x)=ex+x2-x
则g′(x)=ex+2x-1>0在[0,1]上恒成立,
∴g(x)=ex+x2-x在[0,1]上递增
∴a=g(x)≥g(0)=1
综上可知,a≥1
故答案为:a≥1.
∴存在b∈[0,1],使f(b)=f-1(b)
即函数f(x)与其反函数f-1(x)在[0,1]上有交点
∵f(x)=ex+x2-a在[0,1]上为增函数
∴函数f(x)与其反函数f-1(x)在[0,1]的交点在直线y=x上,
即函数f(x)与其反函数f-1(x)的交点就是f(x)与y=x的交点
令:ex+x2-a=x,则方程在[0,1]上一定有解
∴a=ex+x2-x
设g(x)=ex+x2-x
则g′(x)=ex+2x-1>0在[0,1]上恒成立,
∴g(x)=ex+x2-x在[0,1]上递增
∴a=g(x)≥g(0)=1
综上可知,a≥1
故答案为:a≥1.
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