已知函数f（x）=aex+（2-e）x（a为实数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在x=0处的切线与直线（3-e）x-y+10=0平行．（1）求实数a的值，并判断函数f（x）在区间[0，+∞）内的零点个数；（2）

Question

已知函数f（x）=ae^x+（2-e）x（a为实数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在x=0处的切线与直线（3-e）x-y+10=0平行．
（1）求实数a的值，并判断函数f（x）在区间[0，+∞）内的零点个数；
（2）证明：当x>0时，f（x）-1>xln（x+1）．

Answer 1

（1）f'（x）=ae^x+2-e，由题设，可知曲线y=f（x）在x=0处的切线的斜率k=f'（0）=a+2-e=3-e，解得a=1，
∴f（x）=e^x+（2-e）x，
∴当x≥0时，f'（x）=e^x+2-e≥e⁰+2-e>0，
∴f（x）在区间[0，+∞）内为增函数，
又f（0）=1>0，∴f（x）在区间[0，+∞）内没有零点．
（2）当x>0时，f（x）-1>xln（x+1）等价于(f(x)-1)/(x)>ln(x+1)，记g（x）=e^x-（x+1），
则g'（x）=e^x-1，当x>0时，g'（x）>0，
∴当x>0时，g（x）在区间（0，+∞）内单调递增，
∴g（x）>g（0）=0，即e^x>x+1，两边取自然对数，得x>ln（x+1）（x>0），
∴要证明(f(x)-1)/(x)>ln(x+1)（x>0），只需证明(f(x)-1)/(x)>x（x>0），
即证当x>0时，e^x-x²+（2-e）x-1≥0，①
设h（x）=e^x-x²+（2-e）x-1，则h'（x）=e^x-2x+2-e，令ϕ（x）=e^x-2x+2-e，
则ϕ'（x）=e^x-2，当x∈（0，ln2）时，ϕ'（x）<0；当x∈（ln2，+∞）时，ϕ'（x）>0．
∴ϕ（x）在区间（0，ln2）内单调递减，在区间（ln2，+∞）内单调递增，
又ϕ（0）=3-e>0，ϕ（1）=0，0<ln2<1，
∴ϕ（ln2）<0，∴存在x₀∈（0，1），使得ϕ（x₀）=0，
∴当x∈（0，x₀）∪（1，+∞）时，ϕ（x）>0；
当x∈（x₀，1）时，φ（x）<0，∴h（x）在区间（0，x₀）内单调递增，
在区间（x₀，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增，
又h（0）=h（1）=0，∴h（x）=e^x-x²+（2-e）x-1≥0，
当且仅当x=1时，取等号，即①式成立，
∴f（x）-1>xln（x+1）．