求函数y=x√(ax－x)的导函数,及该函数的单调区间,其中a＞0.谢谢您的回答.顺便写下过程.那个函数根号里是ax－x^2.sorry.上标数字不能显示.

Question

求函数y=x√(ax－x)的导函数,及该函数的单调区间,其中a＞0.
谢谢您的回答.顺便写下过程.
那个函数根号里是ax－x^2.sorry.上标数字不能显示.

Answer 1

要使y有定义,ax-x² = x(a - x) ≥ 0
(1) x ≥ 0且a - x ≥ 0=> x ≤ a,即 0≤ x ≤ a
(2) x ≤ 0 且 a - x ≤ 0 => x ≥ a,无解
y的定义域是 0≤ x ≤ a
y = x(ax-x²)^(1/2)
y' = (ax-x²)^(1/2) + x*(1/2)*(ax-x²)^(-1/2) *(a-2x)
= (ax-x²)^(1/2) + x(a-2x)/[2(ax-x²)^(1/2)]
= [2(ax - x²) + x(a-2x) ] /[2(ax-x²)^(1/2)]
= (3ax - 4x²)/[2(ax-x²)^(1/2)]
如y'> 0,则3ax - 4x² = x(3a -4x) > 0
(1) x >0 且3a -4x > 0 => x < 3a/4
即 0 < x < 3a/4 (在定义域内)
(2) x < 0且 3a -4x < 0 => x > 3a/4,无解
所以0 < x < 3a/4时,y为增函数
3a/4 < x < a时,y为减函数