关于f(x)=sin(k*arcsin(x))的幂级数展开式的系数此问题源于思考sin3x,sin5x的多倍角公式,我猜测k是奇数的时候sinkx是sinx的多项式.但k是偶数的时候则不然,但我猜测sin(k*arcsinx),无论k是奇数还是偶数

Question

关于f(x)=sin(k*arcsin(x))的幂级数展开式的系数
此问题源于思考sin3x,sin5x的多倍角公式,我猜测k是奇数的时候sinkx是sinx的多项式.但k是偶数的时候则不然,但我猜测sin(k*arcsinx),无论k是奇数还是偶数还是一般的实数,都有类似的展开式,只不过k是奇数时,正好后面都变成0了,就像二项式定理和(1+x)^a的展开式一样.
我能通过复合函数算出特定k值的f(x)的前几项系数,但是猜不出通用的公式,然而我猜测应该有一个类似二项式系数的带阶乘的公式,我的问题就是如何导出这个公式.

Answer 1