询问一道有关因式定理的题一个整系数四次多项式f(x)对于四个不同的整数a,b,c,d有f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=1求证：对于任何整数m都不能使f(m)=-150分,3月11日晚10点截止!提高悬赏50分！

Question

询问一道有关因式定理的题
一个整系数四次多项式f(x)对于四个不同的整数a,b,c,d有f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=1
求证：对于任何整数m都不能使f(m)=-1
50分,3月11日晚10点截止!
提高悬赏50分！

Answer 1

一个整系数四次多项式f(x)对于四个不同的整数a,b,c,d有f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=1 ,所以
f(a)-1=0
f(b)-1=0
f(c)-1=0
f(d)-1=0
所以a,b,c,d是方程f(x)-1=0的解
所以f(x)-1可以表示为
f(x)-1=k(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
所以
f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+1(k是整数)
若f(m)=-1
则k(m-a)(m-b)(m-c)(m-d)=-2=-1*2
因为a,b,c,d各不相同,所以
(m-a),(m-b),(m-c),(m-d)也各不相同,显然这样的四个数的乘积不会等于2,(因为最多只能有一个1和一个-1,其余两个若有一个为零,则结果为0,不然,剩余的两个数只能是绝对值大于等于2的数,它们的乘积不可能等于-2),所以m不存在