（本小题满分１２分）如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD

Question

（本小题满分１２分）如图，两个同心圆的圆心是 O ，大圆的半径为13，小圆的半径为5， AD 是大圆的直径．大圆的弦 AB ， BE 分别与小圆相切于点 C ， F ． AD ， BE 相交于点 G ，连接 BD ．

（1）求 BD 的长；
（2）求∠ ABE +2∠ D 的度数；
（3）求 的值．

Answer 1

（1）连接 O C ，并延长 BO 交 AE 于点 H ，
∵ AB 是小圆的切线， C 是切点，
∴ OC ⊥ AB ，
∴ C 是 AB 的中点． 
∵ AD 是大圆的直径，
∴ O 是 AD 的中点．
∴ OC 是△ ABD 的中位线．
∴ BD =2 OC =10． 
（2）连接 AE ，由（1）知 C 是 AB 的中点．
同理 F 是 BE 的中点．
由切线长定理得 BC = BF ．
∴ BA = BE ．                        
∴∠ BAE =∠ E ．
∵∠ E =∠ D ，  
∴∠ ABE +2∠ D =∠ ABE +∠ E +∠ BAE =180º．
（3）连接 BO ，在Rt△ OCB 中，
∵ OB =13， OC =5，
∴ BC =12． 
由（2）知∠ OBG =∠ OBC =∠ OAC ．
∵∠ BGO =∠ AGB ，
∴△ BGO ∽△ AGB ．  
∴ ． 

略