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已知抛物线y=-(4/9)x^2+bx+c与X轴相交于A.B两点,其对称轴为直线x=2,且与x轴相交于点D,AO=11.若线段BC的垂直平分线EF交AB于点E,交X轴于点F,求FC的长2.探究在抛物线的对称轴上是否存在点p,使圆心p
题目详情
已知抛物线y=-(4/9)x^2+bx+c与X轴相交于A.B两点,其对称轴为直线x=2,且与x轴相交于点D,AO=1
1.若线段BC的垂直平分线EF交AB于点E,交X轴于点F,求FC的长
2.探究在抛物线的对称轴上是否存在点p,使圆心p于X轴,直线BC都相切?若存在,请求出P坐标,不存在,请说理由
1.若线段BC的垂直平分线EF交AB于点E,交X轴于点F,求FC的长
2.探究在抛物线的对称轴上是否存在点p,使圆心p于X轴,直线BC都相切?若存在,请求出P坐标,不存在,请说理由
▼优质解答
答案和解析
(1)解析:∵抛物线y=-4/9x^2+bx+c,其对称轴为x=2
y=-4/9x^2+bx+c=-4/9(x-9b/8)^2+9b^2/16+c
∴9b/8=2==>b=16/9
y=-4/9x^2+16/9x+c
∵OA=1==>A(-1,0)==>AD=1+2=3
-4/9-16/9+c=0==>c=20/9
B(5,0)
(2)解析:∵y=-4/9x^2+16/9x+20/9=-4/9(x-2)^2+4
∴顶点C(2,4)==>BC中点(3.5,2)
BC斜率为-4/3
∴BC中垂线EF方程为:y-2=3/4(x-3.5)==>6x-8y-5=0
∴F(5/6,0)
|FC|=√[(2-5/6)^2+4^2]=25/6
(3)解析:在抛物线对称轴上肯定存在点P,即∠CBD平分线与中垂线交点P
Tan∠CBD=4/3
Tan∠CBD =2Tan(∠CBD/2)/[1-(Tan(∠CBD/2))^2]=4/3
解得Tan(∠CBD/2)=1/2
PD/BD=1/2==>PD=3/2
∴P(2,3/2)
y=-4/9x^2+bx+c=-4/9(x-9b/8)^2+9b^2/16+c
∴9b/8=2==>b=16/9
y=-4/9x^2+16/9x+c
∵OA=1==>A(-1,0)==>AD=1+2=3
-4/9-16/9+c=0==>c=20/9
B(5,0)
(2)解析:∵y=-4/9x^2+16/9x+20/9=-4/9(x-2)^2+4
∴顶点C(2,4)==>BC中点(3.5,2)
BC斜率为-4/3
∴BC中垂线EF方程为:y-2=3/4(x-3.5)==>6x-8y-5=0
∴F(5/6,0)
|FC|=√[(2-5/6)^2+4^2]=25/6
(3)解析:在抛物线对称轴上肯定存在点P,即∠CBD平分线与中垂线交点P
Tan∠CBD=4/3
Tan∠CBD =2Tan(∠CBD/2)/[1-(Tan(∠CBD/2))^2]=4/3
解得Tan(∠CBD/2)=1/2
PD/BD=1/2==>PD=3/2
∴P(2,3/2)
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