某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点

Question

某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为

√(10)

√(10)

；
（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值；
（3）代数应用：求代数式√(x2+1)+√((4−x)2+4)（0≤x≤4）的最小值．

Answer 1

（1）√(10)
作点B关于AC的对称点B′，连接B′E交AC于P，
此时PB+PE的值最小．连接AB′．
AB′=AB=√(AC2+BC2)＝√(22+22)＝2√(2)
AE=(1)/(2)AB＝√(2)∵∠B′AC=∠BAC=45°∴∠B′AB=90°∴PB+PE的最小值=B′E=√(B′A2+AE2)＝√((2√(2))2+(√(2))2)＝√(10)

（2）作点B关于AC的对称点B，过B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此时BM+MN的值最小．
BM+MN=B′N．
理由：如图1，在AC上任取一点l（不与点M重合），
在AB上任取一点N_l，
连接B′M_l、BM_l、M_lN_l、B′NN_l．
∵点B′与点B关于AC对称
∴BM_l=B′M_l∴BM_l+M_lN_l=B′M_l，BMM_lN_l＞B′N_l
又∵B′N_l＞B′N，BM+MN=B′N
∴BM_l+M_lN_l＞BM+MN
计算：如图2
∵点B′与点B关于AC对称
∴AB′=AB
又∵∠BAC=30°∴∠B′AB=60°图2
∴△B′AB是等边三角形
∴B′B=AB=2，∠B′BN=60°又∵B′N⊥AB∴B′N=B′B°=√(3)

（3）方法一：构造图形如图所示
其中：AB=4，AC=1，DB=2，AP=x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．
那么PC+PD=√(x2+1)+√((4−x)2+4)
所求√(x2+1)+√((4−x)2+4)的最小值就是求PC+PD的
最小值．
作点C关于AB的对称点C′，过C′作C′E垂直DB的延长线于E．
则C′E=AB=4，DE=2+1=3，C′D=√(C′E2+DE2)＝√(42+32)＝5
所求√(x2+1)+√((4−x)2+4)的最小值是5．
方法二：构造图形如图所示：
在直角坐标系中，点A（0，1）、B（4，2）、P（x，0）（0≤x≤4）
那么PA+PB=√(x2+1)+√((4−x)2+4)
所求√(x2+1)+√((4−x)2+4)的最小值就是求PA+PB的
最小值．
作点C关于x轴的对称点A′，过A′作A′C垂直于
y轴，过点B作BC垂直于x轴交A′C于点C．
则A′C=4，BC=3，A′B=√(A′C2+BC)＝√(42+32)＝5
所求√(x2+1)+√((4−x)2+4)的最小值是5．