如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连结AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA=8．（1）求证：∠ECD=∠EDC；（2）若tanA=14，求DE长；（3）当∠A从1

Question

如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连结AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA=8．

（1）求证：∠ECD=∠EDC；
（2）若tanA=(1)/(4)，求DE长；
（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．

Answer 1

（1）证明：连结OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠EDC+∠ODA=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠ACO+∠A=90°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A，
∴∠EDC=∠ACO，
又∵∠ECD=∠ACO，
∴∠ECD=∠EDC．

（2） ∵tanA=(OC)/(OA)，
∴(OC)/(8)=(1)/(4)，
∴OC=2，
设DE=x，
∵∠ECD=∠EDC，
∴CE=x，
∴OE=2+x．
∴∠ODE=90°，
∴OD²+DE²=OE²，
∴8²+x ²=（2+x）²，x=15，
∴DE=CE=15．

（3） 过点D作AO的垂线，交AO的延长于F，
当∠A=15°时，∠DOF=30°，DF=4，
S弓形ABD=(150π•64)/(360)-(1)/(2)×8×4=(80π)/(3)-16
当∠A=30°时，∠DOF=60°，DF=4√(3)，
S弓形ABD=(120π•64)/(360)-(1)/(2)×8×4√(3)=(64π)/(3)-16√(3)，
∴S=((80π)/(3)-16)-((64π)/(3)-16√(3))=(16)/(3)π+16√(3)-16