已知z，ω为复数，（1+3i）•z为纯虚数，ω=z2+i，且|ω|=52，求复数z及ω（设z=x+yi，x、y∈R）

Question

已知z，ω为复数，（1+3i）•z为纯虚数，ω=(z)/(2+i)，且|ω|=5√(2)，求复数z及ω（设z=x+yi，x、y∈R）

Answer 1

设z=x+yi，（x、y∈R），则（1+3i）•z=（x-3y）+（3x+y）i为纯虚数，
∴x-3y=0，3x+y≠0，
∵|ω|=|(z)/(2+i)|=5√(2)，
∴|z|=√(x2+y2)=5√(10)；又x=3y．
解得x=15，y=5，或x=-15，y=-5，
∴z=±（15+5i），ω=±(15+5i)/(2+i)=±（7-i）．