已知复数z=x+yi（x，y∈R）满足：|z+5|-|z-5|=2a，且z在复平面上的对应点P的轨迹C经过点（4，3）（1）求C的轨迹；（2）若过点A（4，0），倾斜角为π4的直线l交轨迹C于M、N两点，求△OMN的面积S．

Question

已知复数z=x+yi（x，y∈R）满足：|z+√(5)|-|z-√(5)|=2a，且z在复平面上的对应点P的轨迹C经过点（4，√(3)）
（1）求C的轨迹；
（2）若过点A（4，0），倾斜角为(π)/(4)的直线l交轨迹C于M、N两点，求△OMN的面积S．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，设轨迹C的方程为：(x2)/(a2)−(y2)/(5−a2)=1，
∵焦点坐标是（±√(5)，0），∴焦点在x轴上，
将（4，√(3)）代入方程，得：
(16)/(a2)-(3)/(5−a2)=1，
整理，得a⁴-24a²+80=0，
解得a²=4，或a²=20
∵焦点是（±√(5)，0），∴a²=20不合题意，舍去，
∴C的轨迹方程是：(x2)/(4)−y2=1（x≥2）．
（Ⅱ）∵直线l过点A（4，0），倾斜角为(π)/(4)，
∴直线l的方程为：y=x-4，
联立方程：

y2＝(x2)/(4)−1

y＝x−4

，得3y²-8y-12=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y