已知数列{an}满足如图所示的程序框图．（Ⅰ）写出当n=1，2，3时输出的结果；（Ⅱ）写出数列{an}的一个递推关系式，并证明：{an+1-3an}是等比数列；（Ⅲ）求{an}的通项公式及前n项和Sn．

Question

已知数列{a_n}满足如图所示的程序框图．
（Ⅰ）写出当n=1，2，3时输出的结果；
（Ⅱ）写出数列{a_n}的一个递推关系式，并证明：{a_n+1-3a_n}是等比数列；
（Ⅲ）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）由程序框图可知，数列{an}的一个递推关系式a₁=1，a₂=1，a _n+2=5a_n+1-6a_n
∴n=1时输出a₃=5-6=-1，n=2时输出a₄=5×（-1）-6=-11，n=3时输出a₄=5×（-11）-6×（-1）=-49
（Ⅱ）数列{a_n}的一个递推关系式，a₁=1，a₂=1，a _n+2=5a_n+1-6a_n；
则a_n+2-3a_n+1 =2（a _n+1-3a_n），且a₂-3a₁=-2
∴数列{a_n+1-3a_n}是以-2为首项，2为公比的等比数列
（III）由（II）有a_n+1-3a_n=-2 ⁿ
∴(an+1)/(3n+1)−(an)/(3n)＝−(1)/(3)× ((2)/(3))n
∴(an)/(3n)=(a1)/(3)+（(a2)/(32)-(a1)/(3)）+（(a3)/(33)-(a2)/(32)）+…+（(an)/(3n)-(an−1)/(3n−1)）（n≥2）
=(1)/(3)-(1)/(3)×(2)/(3)-(1)/(3)×((2)/(3))2-(1)/(3)×((2)/(3))n−1
=(

作业帮用户 2017-11-02

问题解析

（I） 根据程序框图分别计算出当n=1，2，3时输出的结果；
（Ⅱ）由程序框图可直接得到数列{an}的一个递推关系式a₁=1，a₂=1，a _n+2=5a_n+1-6a_n，将a _n+2=5a_n+1-6a_n移向变形得出a_n+2-3a_n+1 =2（a _n+1-3a_n），从而可证{a_n+1-3a_n}是等比数列；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求出a_n+1-3a_n=-2 ⁿ两边同除以3ⁿ⁺¹变形构造出

(an+1)/(3n+1)−(an)/(3n)＝−(1)/(3)× ((2)/(3))n，然后利用累积法可求出数列的通项，再利用等比数列求和公式可求出前n项和S_n．

名师点评

本题考点：

数列递推式；等比关系的确定；循环结构．

考点点评：

本题主要考查了程序框图知识，以及等差数列、等比数列的通项与求和，同时考查转化、计算、分析解决问题的能力，属于中档题．

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