已知函数f（x）=ex-ln（x+m），其中m∈R且m为常数．（Ⅰ）试判断当m=0时函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并证明；（Ⅱ）设函数f（x）在x=0处取得极值，求m的值，并讨论函数f（x）的单

Question

已知函数f（x）=e^x-ln（x+m），其中m∈R且m为常数．
（Ⅰ）试判断当m=0时函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并证明；
（Ⅱ）设函数f（x）在x=0处取得极值，求m的值，并讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

（Ⅰ）当m=0时，f（x）=e^x-lnx，
求导数得：f′(x)＝ex−(1)/(x)，
∵当x∈[1，+∞）时，ex≥e，(1)/(x)≤1，∴f'（x）＞0，
∴当m=0时函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）求导数得：f′(x)＝ex−(1)/(x+m)，
由x=0是f（x）的极值点得f'（0）=0，∴m=1，
于是f（x）=e^x-ln（x+1），定义域为（-1，+∞），
f′(x)＝ex−(1)/(x+1)，
显然函数f′(x)＝ex−(1)/(x+1)在（-1，+∞）上单调递增，且f'（0）=0，
因此当x∈（-1，0）时，f'（0）＜0；x∈（0，+∞）时，f'（0）＞0，
∴f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增．