（2012•浙江模拟）已知点D（0，-2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图（Ⅰ）求切点A的纵坐标；（Ⅱ）若离心率为32的椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)恰好经过切点A，

Question

（2012•浙江模拟）已知点D（0，-2），过点D作抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图
（Ⅰ）求切点A的纵坐标；
（Ⅱ）若离心率为(√(3))/(2)的椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k₁，k₂，若k₁+2k₂=4k，求椭圆方程．

Answer 1

（Ⅰ）设切点A（x₀，y₀），且y0＝(x02)/(2p)，
由切线l的斜率为k＝(x0)/(p)，得l的方程为y＝(x0)/(p)x−(x02)/(2p)，又点D（0，-2）在l上，
∴(x02)/(2p)＝2，即点A的纵坐标y₀=2．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ） 得A(−2√(p)，2)，切线斜率k＝−(2)/(√(p))，
设B（x₁，y₁），切线方程为y=kx-2，由e＝(√(3))/(2)，得a²=4b²，…（7分）
所以椭圆方程为(x2)/(4b2)+(y2)/(b2)＝1，且过A(−2√(p)，2)，∴b²=p+4…（9分）
由

作业帮用户 2017-09-29

问题解析

（Ⅰ）设切点A（x₀，y₀），且y0＝(x02)/(2p)，由切线l的斜率为k＝(x0)/(p)，得l的方程为y＝(x0)/(p)x−(x02)/(2p)，再由点D（0，-2）在l上，能求出点A的纵坐标．
（Ⅱ）由得A(−2√(p)，2)，切线斜率k＝−(2)/(√(p))，设B（x₁，y₁），切线方程为y=kx-2，由e＝(√(3))/(2)，得a²=4b²，所以椭圆方程为(x2)/(4b2)+(y2)/(b2)＝1，b²=p+4，由

y＝kx−2

x2+4y2＝4b2

⇒(1+4k2)x2−16kx+16−4b2＝0，由此能求出椭圆方程．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查切点的纵坐标和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．

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