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已知:在直角坐标系中,点C的坐标为(0,-2),点A与点B在x轴上,且点A与点B的横坐标是方程x2-3x-4=0的两个根,点A在点B的左侧.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的关系式.(2)如图,点D
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已知:在直角坐标系中,点C的坐标为(0,-2),点A与点B在x轴上,且点A与点B的横坐标是方程x2-3x-4=0的两个根,点A在点B的左侧.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的关系式.
(2)如图,点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0,n<0),连接DP交BC于点E.
①当△BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标.
②连接CD、CP,△CDP是否有最大面积?若有,求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标;若没有,请说明理由.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的关系式.
(2)如图,点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0,n<0),连接DP交BC于点E.
①当△BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标.
②连接CD、CP,△CDP是否有最大面积?若有,求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标;若没有,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)解方程x2-3x-4=0,得:x1=-1、x2=4,则 A(-1,0)、B(4,0);
依题意,设抛物线的解析式:y=a(x+1)(x-4),代入C(0,-2),得:
a(0+1)(0-4)=-2,
解得:a=
故抛物线的解析式:y=
(x+1)(x-4)=
x2-
x-2.
(2)①分三种情况讨论:
Ⅰ、当DE=BE时(如图①-Ⅰ),点E在线段BD的中垂线上,则E点横坐标为3;
由C(0,-2)、B(4,0)得,直线BC:y=
x-2;
当x=3时,y=
x-2=-
,即 E(3,-
);
Ⅱ、当BE=BD时(如图①-Ⅱ),BE=BD=2;
在Rt△OBC中,sin∠DBE=
,cos∠DBE=
;
过E作EF⊥x轴于点F,则有:
在Rt△BEF中,EF=BE•sin∠DBE=2•
=
,BF=BE•cos∠DBE=
依题意,设抛物线的解析式:y=a(x+1)(x-4),代入C(0,-2),得:
a(0+1)(0-4)=-2,
解得:a=
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故抛物线的解析式:y=
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(2)①分三种情况讨论:
Ⅰ、当DE=BE时(如图①-Ⅰ),点E在线段BD的中垂线上,则E点横坐标为3;
由C(0,-2)、B(4,0)得,直线BC:y=
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当x=3时,y=
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Ⅱ、当BE=BD时(如图①-Ⅱ),BE=BD=2;
在Rt△OBC中,sin∠DBE=
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过E作EF⊥x轴于点F,则有:
在Rt△BEF中,EF=BE•sin∠DBE=2•
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