已知函数f（x）=ex+ax（e为自然对数的底数，近似值为2.718）．（1）求f（x）的单调区间；（2）不等式f（x）＜x的解集为P，若M={x|12≤x≤2}且M∩P=M，求实数a的取值范围；（3）当a=-1，且设g（x

Question

已知函数f（x）=e^x+ax（e为自然对数的底数，近似值为2.718）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）不等式f（x）＜x的解集为P，若M={x|(1)/(2)≤x≤2}且M∩P=M，求实数a的取值范围；
（3）当a=-1，且设g（x）=e^xlnx，是否存在x₀∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x₀处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）f′（x）=e^x+a，
①当a≥0时，f′（x）≥0，所以f（x）的单调增区间是（-∞，+∞）；
②当a＜0时，令f′（x）=e^x+a=0，得x=ln（-a），且当x∈（-∞，ln（-a））时，f′（x）＜0，当x∈（ln（-a），+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）的单调减区间是（-∞，ln（-a）），单调增区间是（ln（-a），+∞）．
（2）因为M∩P=M，所以M⊆P，从而f（x）＜x在[(1)/(2)，2]上恒成立．
由e^x+ax＜x，得a＜1-(ex)/(x)在[(1)/(2)，2]上恒成立．
令h（x）=1-(ex)/(x)，x∈[(1)/(2)，2]，则h′（x）=(ex(1−x))/(x2)，
所以h（x）在[(1)/(2)，2]上递增，在[1，2]上递减．
又h（(1)/(2)）=1-2√(e)，h（2）=1-(e2)/(2)，且h（2）＜h（(1)/(2)），所以h_min（x）=h（2）=1-(e2)/(2)，所以a＜1-(e2)/(2)．
所以a的取值范围是（-∞，1-(e2)/(2)）．
（3）由y=g（x）-f（x）=e^xlnx-e^x+x，所以y′=e^x（lnx+(1)/(x)-1）+1．
假设存在x₀∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x₀处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等，
由（1）知，当a=-1时，f（x）的最小值是-（-1）+（-1）ln1=1，所以x₀为方程y′=1，即e^x（lnx+(1)/(x)-1）=0的解．
令t（x）=lnx+(1)/(x)-1，x∈（0，+∞），由t′（x）=(1)/(x)-(1)/(x2)=