已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-2,（1）求a1,a2及数列an的通项公式（2）若bn=an乘2为底an的对数（log2an),Tn=b1+b2+b3+……+bn,求使-Tn+（n乘2的n+1次）＞50成立的正整数n的最小值

Question

已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-2,
（1）求a1,a2及数列an的通项公式
（2）若bn=an乘2为底an的对数（log2an),Tn=b1+b2+b3+……+bn,求使-Tn+（n乘2的n+1次）＞50成立的正整数n的最小值

Answer 1

1.
n=1时,S1=a1=2a1-2
a1=2
n=2时,S2=a1+a2=2+a2=2a2-2
a2=4
n≥2时,Sn=2an -2 S(n-1)=2a(n-1)-2
Sn-S(n-1)=an=2an-2-2a(n-1)+2
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2,为定值.
又a1=2
数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列.
an=2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ.
2.
bn=anlog2(an)=2ⁿlog2(2ⁿ)=n×2ⁿ
Tn=b1+b2+...+bn=1×2+2×2²+...+n×2ⁿ
2Tn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
Tn-2Tn=-Tn=2+2²+...+2ⁿ-n×2^(n+1)=2(2ⁿ-1)/(2-1)=(1-n)×2^(n+1) -2
-Tn+n×2^(n+1)>50
(1-n)×2^(n+1) -2+n×2^(n+1)>50
2^(n+1)>52
n为正整数,n+1≥6
n≥5
n的最小值是5.