求不定积分(r^5乘根号下R^2减r^2)dr算了一下午和书上答案不一样,思路：用换元法令r=R乘cost

Question

求不定积分(r^5乘根号下R^2减r^2)dr 算了一下午和书上答案不一样,
思路：用换元法令r=R乘cost

Answer 1

用换元法令r=Rsint ,t∈[-π/2,π/2]时,√R^2-r^2 = Rcost
dr=Rcost dt
I=∫(Rsint)^5 Rcost Rcost dt = R^7 ∫(sint)^5 (cost)^2 dt
令 u=cost
I= R^7 ∫(sint)^4 (cost)^2 d(-cost)= R^7 ∫u^2 (1-u ^2)^2 du
= R^7 (u^7 /7-2u^5 /5 +u^3 /3) + C
再回代原变量即可,如果是定积分,随时变化积分限,直接利用N-L公式,求值.