柯西不等式的三角形式中为什么当ad=bc时取等号就是那个三角式的还有等号成立的条件也是ad=bc，这个怎么解释

Question

柯西不等式的三角形式中为什么当ad=bc时取等号
就是那个三角式的还有等号成立的条件也是ad=bc，这个怎么解释

Answer 1

(a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d∈R)
＝a^2·c^2 ＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2
＝a^2·c^2 ＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·d^2－2abcd＋b^2·c^2
＝(ac＋bd)^2＋(ad－bc)^2
≥(ac＋bd)^2,等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立.
一般是这样,但换一下,(a^2+b^2)(d^2+c^2) （a,b,c,d∈R)
＝a^2·d^2 ＋b^2·c^2＋a^2·c^2＋b^2·d^2
＝a^2·d^2 ＋2abcd＋b^2·c^2＋a^2·c^2－2abcd＋b^2·d^2
＝(ad＋bc)^2＋(ac－bd)^2
≥(ad＋bc)^2,等号在且仅在ac－bd=0即ac=bd时成立.只是通过完全平方式进行构造,重要的是看不等号左右是什么