早教吧作业答案频道 -->其他-->
必做题:(本小题满分10分,请在答题指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)已知an(n∈N*)是二项式(2+x)n的展开式中x的一次项的系数.(Ⅰ)求an;(Ⅱ)是
题目详情
必做题:(本小题满分10分,请在答题指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
已知an(n∈N*)是二项式(2+x)n的展开式中x的一次项的系数.
(Ⅰ)求an;
(Ⅱ)是否存在等差数列{bn},使an=b1cn1+b2cn2+b3cn3+…+bncnn对一切正整数n都成立?并证明你的结论.
已知an(n∈N*)是二项式(2+x)n的展开式中x的一次项的系数.
(Ⅰ)求an;
(Ⅱ)是否存在等差数列{bn},使an=b1cn1+b2cn2+b3cn3+…+bncnn对一切正整数n都成立?并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(I)∵((2+x)n的展开式的通项为:Tr+1=Cnr2n-rxr(r=0,1,2…n)
令r=1可得an=Cnr2n-r=n•2n-1
(II)若存在等差数列{bn},满足已知条件
则当n=1时,b1=a1=1
当n=2时,a2=b1C21+b2C22即4=4=2+b2,所以b2=2
当n=3时,a3=b1C31+b2C32+b3C33即12=3+6+b3,所以b3=3
由上述结果,猜想bn=n
下面证明:当bn=n时,an=b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn对一切正整数n都成立
即证n•2n-1=Cn1+2Cn2+…+nCnn成立
(法一)设S=Cn1+2Cn2+…+nCnn
S=nCnn+(n-1)Cnn-1+…+Cn1
则2S=nCn0+nCn1+…+nCnn=n(Cn0+Cn1+…+Cnn)=n•2n
∴S=n•2n-1
即n•2n-1=Cn1+2Cn2+…+nCnn成立
(法二)∵kCnk=k
=
=n
=nCn-1k-1
∴Cn1+2Cn2+…+nCnn=n(Cn-10+Cn-11+…+Cn-1n-1)=n•2n-1
综上可得,存在等差数列bn=n满足已知条件.
令r=1可得an=Cnr2n-r=n•2n-1
(II)若存在等差数列{bn},满足已知条件
则当n=1时,b1=a1=1
当n=2时,a2=b1C21+b2C22即4=4=2+b2,所以b2=2
当n=3时,a3=b1C31+b2C32+b3C33即12=3+6+b3,所以b3=3
由上述结果,猜想bn=n
下面证明:当bn=n时,an=b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn对一切正整数n都成立
即证n•2n-1=Cn1+2Cn2+…+nCnn成立
(法一)设S=Cn1+2Cn2+…+nCnn
S=nCnn+(n-1)Cnn-1+…+Cn1
则2S=nCn0+nCn1+…+nCnn=n(Cn0+Cn1+…+Cnn)=n•2n
∴S=n•2n-1
即n•2n-1=Cn1+2Cn2+…+nCnn成立
(法二)∵kCnk=k
n! |
k!(n−k)! |
n! |
(k−1)!(n−k)! |
(n−1)! |
(k−1)![(n−1)−(k−1)]! |
∴Cn1+2Cn2+…+nCnn=n(Cn-10+Cn-11+…+Cn-1n-1)=n•2n-1
综上可得,存在等差数列bn=n满足已知条件.
看了 必做题:(本小题满分10分,...的网友还看了以下:
初一的一道观察题观察下列各等式并回答问题:1乘2分之1=1-2分之1,2乘3分之1=2分之1-3分 2020-05-14 …
数列的Sn的问题好难哦分别求下列树列的Sn1、1*2+2*3+...+n(n+1)2、5+55+5 2020-06-04 …
数学考试共十道四选一的题,前n道都能正确,8-n道每题正确率0.5,最后两道每题正确率1/4.要. 2020-06-24 …
lim(n→∞)(n方分之1+n方分之2+…+n方分之n)lim(n→∞)(n方+n+1分之1+n 2020-07-10 …
lim(n→∞)(n方分之1+n方分之2+…+n方分之m)题抄错了是lim(n→∞)(n方分之1+ 2020-07-10 …
我们知道1+2+3+……+n=2分之1n(n+1),其中n是自然数.现在来研究一个类似的问题:1× 2020-07-21 …
哪些数列的极限为零如题,如n分之一的极限为零.类似这样可记忆可方便解题的数列还有哪些?若分母的n前 2020-07-27 …
现有3个命题:P1:函数f(x)=lgx-|x-2|有2个零点.P2:面值为3分和5分的邮票可支付 2020-07-29 …
极限的问题若f(n)、g(n)分别是关于n的一元多项式,f(n)=apn^p+a(p-1)n^(p 2020-08-03 …
3道初二数学题(关于分式的)1.已知n分之m等于3分之5,求(m+n)分之m加上(m-n)分之m再减 2020-12-17 …