数列的Sn的问题好难哦分别求下列树列的Sn1、1*2+2*3+...+n(n+1)2、5+55+555+...+55...5(其中55...5中有n个）3、（1*3）分之1+（2*4）分之1+（3*5）分之1+...+n(n+2)分之14、2分之1+4分之2+8分之3+...+2的n次

Question

数列的Sn的问题 好难哦
分别求下列树列的Sn
1、1*2+2*3+...+n(n+1)
2、5+55+555+...+55...5 (其中55...5 中有n个）
3、（1*3） 分之1+ （2*4）分之1+ （3*5）分之1+...+n(n+2) 分之1
4、2分之1 +4分之2+8分之3+...+2的n次方分之n
这些非等比非等差 不知道怎么做
好难啊 有什么常规解题套路

Answer 1

1*2+2*3=3*(1*2)/3+3*(2*3)/3
=(2*3)*1+(2*3)*3/3
=(2*3)(1+3)/3=2*3*4/3
1*2+2*3+3*4=2*3*4/3+3*(3*4)/3
=3*4*(2+3)/3=3*4*5/3
所以:
Sn=n(n+1)(n+2)/3
2.
Sn=5/9（9+99+999+...+99...9（N个））
=5/9（10-1=100-1+...10（N个）-1）
3.1/（1*3）+1/（2*4）+...+1/[n+(n+2)]
=[2/（1*3）+2/（2*4）+……+2/n（n+2）]/2
={(1/1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+……+[1/(n-1)-1/(n+1)]+[1/n-1/(n+2)]}/2
=[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]/2
=(3n^2-5n)/[4(n+1)(n+2)]
4.S=1/2+2/2^2+3/2^3+.+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n
2S=1+2/2+3/2^2+.+(n-1)/2^(n-2)+n/2^(n-1)
2S-S=1+1/2+1/2^2+.+1/2^(n-1)-n/2^n
S=1*[1-(1/2)^n]/[1-1/2]-n/2^n=2-2/2^n-n/2^n=2-(n+2)/2^n