选做题如图所示，在平面直角坐标系xoy中，第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=mv0qL．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴

Question

【选做题】如图所示，在平面直角坐标系xoy中，第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=(mv0)/(qL)．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴正半轴上的M点以速度v₀垂直于y轴射入电场，经x轴上N点与x轴正方向成θ=60°角射入匀强磁场中，最后从y轴负半轴某一点P射出，已知M点坐标为（0，3L），不计粒子重力，求：
（1）匀强电场的电场强度和粒子到N点的速度；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子打在P点的坐标；
（3）粒子从进入M点运动到P点所用的总时间．

Answer 1

（1）粒子在电场中运动时做类平抛运动：水平方向匀速直线，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，合速度与分速度的关系如图：
                                                                                                                            
 tan60°＝(vy)/(vx)则vy＝√(3)v0
vy＝at＝(qEt)/(m)＝√(3)v0…①
且竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动：OM=(1)/(2)at²=(qE)/(2m)t2＝3L…②
由①②解得：E＝(mv20)/(2qL)
vN＝√(v2x+v2y)＝2v0
（2）粒子在电场中运动，竖直方向的平均速度：

.

vy

=(0+vy)/(2)=(√(3))/(2)v0，
所以竖直方向的位移：3L=(√(3))/(2)v0t…③
水平方向的位移：x=0N=v₀t…④
由③④解得：x=2√(3)L
由洛伦兹力提供向心力得：qBvN＝m(vN2)/(R)
则R＝(mvN)/(qB)＝2L
粒子在磁场中的运动轨迹如图：
由图可以看出PN与x轴方向的30°，由于ON等于2√(3)L，
则：PN=(ON)/(cos30°)=4L
PN距离恰好为半径的两倍，说明粒子正好从NP直径出第四象限
即打在y 轴负半轴的坐标（0，-2L）
（3）粒子在电场中做类平抛运动，水平位移x=0N=v₀t=2√(3)L，
解得：t=(2√(3)L)/(v0)
粒子在磁场中运动轨迹为半圆，所需的时间：t₂=(πR)/(vN)=(π2L)/(2v0)=(πL)/(v0)
所以粒子的运动总时间为t_总=(2√(3)L+πL)/(v0)
答：（1）匀强电场的电场强度为(mv20)/(2qL)，粒子到N点的速度为2v₀；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径为2L，粒子打在P点的坐标为（0，-2L）；
（3）粒子从进入M点运动到P点所用的总时间为(2√(3)L+πL)/(v0)．