对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n-12≤x＜n+12则＜x＞=n．如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12

Question

对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，
即：当n为非负整数时，如果 n-(1)/(2) ≤x＜n+(1)/(2) 则＜x＞=n．
如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…
试解决下列问题：
（1）填空：①＜π＞=______（π为圆周率）；
②如果＜2x-1＞=3，则实数x的取值范围为______；
（2）①当x≥0，m为非负整数时，求证：＜x+m＞=m+＜x＞；
②举例说明＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；
（3）求满足＜x＞= (4)/(3) x 的所有非负实数x的值；
（4）设n为常数，且为正整数，函数 y= x 2 -x+(1)/(4) 的自变量x在n≤x＜n+1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a，满足＜

k

＞=n的所有整数k的个数记为b．求证：a=b=2n．

Answer 1

（1）①3；
②由题意得：2.5≤2x-1＜3.5，解得： (7)/(4) ≤x＜(9)/(4) ；

（2）①证明：设＜x＞=n，则 n-(1)/(2) ≤x＜n+(1)/(2) ，n 为非负整数；
∴ (n+m)-(1)/(2) ≤x+m＜(n+m)+(1)/(2) ，且n+m为非负整数，
∴＜x+m＞=n+m=m+＜x＞．
②举反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，
∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，
∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；

（3）∵x≥0， (4)/(3) x 为整数，设 (4)/(3) x=k，k为整数，
则 x=(3)/(4) k ，
∴ ＜(3)/(4) k＞=k ，
∴ k-(1)/(2) ≤(3)/(4) k＜k+(1)/(2) ，k≥0 ，
∵O≤k≤2，
∴k=0，1，2，
∴x=0， (3)/(4) ， (3)/(2) ．

（4）∵函数 y= x 2 -x+(1)/(4) = (x-(1)/(2) ) 2 ，n为整数，
当n≤x＜n+1时，y随x的增大而增大，
∴ (n-(1)/(2) ) 2 ≤y＜ (n+1-(1)/(2) ) 2 ，即 (n-(1)/(2) ) 2 ≤y＜(n+(1)/(2) ) 2 ，①
∴ n 2 -n+(1)/(4) ≤y＜ n 2 +n+(1)/(4) ，∵y为整数，
∴y=n ² -n+1，n ² -n+2，n ² -n+3，…，n ² -n+2n，共2n个y，
∴a=2n，②
∵k＞0，＜

k

＞=n，
则 n-(1)/(2) ≤

k

＜n+(1)/(2) ，∴ (n-(1)/(2) ) 2 ≤k＜(n+(1)/(2) ) 2 ，③
比较①，②，③得：a=b=2n．