有理数就是分数,就是有限或无限循环小数,如何证明?三个定理都要证明过程关于最简分数⑴如果分母中只含有质因数2和5,那么这个最简分数一定可以化成的有限小数,小数部分的位数就等于分

Question

有理数就是分数,就是有限或无限循环小数,如何证明?三个定理都要证明过程
关于最简分数
⑴如果分母中只含有质因数2和5,那么这个最简分数一定可以化成的有限小数,小数部分的位数就等于分母中质因数2和5中个数较多的那个数的个数；
⑵如果分母中只含有2和5以外的质因数,那么这个分数化成的小数一定是纯循环小数；
⑶如果分母中既含有质因数2和5,又含有2和5以外的质因数,那么这个分数化成的小数一定是混循环小数,小数部分不循环的位数就等于分母中质因数2和5中个数较多的那个数的个数.

Answer 1

1）设D/G为最简分数,m,n为正整数.m＜n.D=10^n*D*10^(-n) G=2^m5^n=10^m5^(n-m) D/G=D*10^(-m)5^(m-n)=10^(-m)5^(m-n)*10^n*D*10^(-n)=10^(-m)5^(m-n)*10^n*D*10^(-n)=10^(-m-n)5^m*2^n*D=10^(-n2^(n-m)*D,所以命题成立.2）设D/G为最简分数,G=mn.m,n为正整数.且均不为2或5.D/G=10D/(10mn),分母不能约分,所以命题成立.3）设D/G为最简分数,m,n为正整数.m,n含有2或5,且其他正奇数的因数.G=mn.D/G=10D/(10mn),分母能约分,所以命题成立.