已知f(x)在点a的邻域内有定义,且limx→a{f(x)-f(a)}/(x-a)^2=c≠0,证明：当c＞0,f(x)在x=a处取得极小值；当c＜0时,f(x)在x=a处取得极大值,求高数大神唉唉啊啊

Question

已知f(x)在点a的邻域内有定义,且lim x→a {f(x)-f(a)}/(x-a)^2=c≠0,
证明：当c＞0,f(x)在x=a处取得极小值；当c＜0时,f(x)在x=a处取得极大值,求高数大神唉唉啊啊

Answer 1

x趋于a的时候,x-a是趋于0的,
那么由导数定义可以知道,
lim(x→a)[f(x)-f(a)] / (x-a)= f '(a)
所以
lim(x→a) [f(x)-f(a)] /(x-a)^2
=lim(x→a) f '(x)/(x-a)
= c,而c为非零常数,分母x-a仍趋于0,所以f '(a)=0,而f "(a)=c,
那么由极值的判定定理可以知道,
函数在某点的一阶导数等于0,
那么二阶导数大于0时,此点为极小值点,
二阶导数小于0时,此点为极大值点
所以
当c＞0,f(x)在x=a处取得极小值；当c＜0时,f(x)在x=a处取得极大值