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设f(x)是周期为2的连续函数.试证明:(1)对任意实数t,有∫上限t+2下限tf(x)dx=∫上限2下限of(x)dx2.G(x)=∫(上x下0)[2f(t)-∫(上t+2下t)f(s)ds]dt是周期为2的周期函数.
题目详情
设f(x)是周期为2的连续函数.试证明:(1)对任意实数t,有∫上限t+2下限tf(x)dx=∫上限2下限of(x)dx
2.G(x)=∫(上x下0)[2f(t)-∫(上t+2下t)f(s)ds]dt是周期为2的周期函数.
2.G(x)=∫(上x下0)[2f(t)-∫(上t+2下t)f(s)ds]dt是周期为2的周期函数.
▼优质解答
答案和解析
证明(1)
设F(t)= 你的的等式的左﹣右
然后求 F'(t)=f(t+2)-f(t)=0 (积分上限函数求导)
=>F(t)= 常值函数 令 t=0 得F(0)=0
即F(t)=0 即左等于右
(2)由(1)得
∫(上t+2下t)f(s)ds=∫上限2下限0f(x)dx=某定值A
(因为后面的是一个定积分)
那么.G(x)=∫(上x下0)[2f(t)-A]dt
显然G'(x)=2f(x)-A 为周期为2的周期函数
即G(x) 为周期为2的周期函数
设F(t)= 你的的等式的左﹣右
然后求 F'(t)=f(t+2)-f(t)=0 (积分上限函数求导)
=>F(t)= 常值函数 令 t=0 得F(0)=0
即F(t)=0 即左等于右
(2)由(1)得
∫(上t+2下t)f(s)ds=∫上限2下限0f(x)dx=某定值A
(因为后面的是一个定积分)
那么.G(x)=∫(上x下0)[2f(t)-A]dt
显然G'(x)=2f(x)-A 为周期为2的周期函数
即G(x) 为周期为2的周期函数
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