设A=[1,1,2;0,1,3;0,0,2],B=[0,1,3;0,0,2;0,0,0],（A,B为矩阵）证明X^2=A有解,而X^2=B无解.

Question

设A= [1,1,2;0,1,3;0,0,2],B=[0,1,3;0,0,2;0,0,0],（A,B为矩阵）证明X^2=A有解,而 X^2=B无解.

Answer 1

不知楼主学过jordon标准型没
我们先证明无解那个~
首先B的特征值全为0,则X^2的特征值全是0,X的特征值全是0.
3>=r(X)>=r(X^2)=r(B)=2
当r(X)=3则X可逆,X^2可逆,R(X^2)=3矛盾.
当r(X)=2时,X的jordan标准型为(010;001;000),总之X^2的秩为1矛盾.
至于有解那个可以同上证明,由于是三阶矩阵也可以直接接触~