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已知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一个球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内.当此四棱锥体积取得最大值时,其表面积等于4+43,则球O的体积等于()A.42π3B.82π3C.162π3D
题目详情
已知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一个球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内.当此四棱锥体积取得最大值时,其表面积等于4+4
,则球O的体积等于( )
A.
B.
C.
D.
3 |
A.
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3 |
B.
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D.
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▼优质解答
答案和解析
由题意,当此四棱锥体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥,
∵该四棱锥的表面积等于4+4
,
设球O的半径为R,则AC=2R,SO=R,如图,
∴该四棱锥的底面边长为 AB=
R,
则有(
R)2+4×
×
R×
=4+4
,
∴R=
∴球O的体积是
πR3=
.
故选B.
∵该四棱锥的表面积等于4+4
3 |
设球O的半径为R,则AC=2R,SO=R,如图,
∴该四棱锥的底面边长为 AB=
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则有(
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(
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∴R=
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∴球O的体积是
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故选B.
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