如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：CD⊥PD；（2）求证：EF∥平面PAD；（3）若直线EF⊥平面PCD，那么|PA||AD|=？

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：CD⊥PD；   
（2）求证：EF∥平面PAD；
（3）若直线EF⊥平面PCD，那么(|PA|)/(|AD|)=？

Answer 1

（1）证明：∵侧棱PA垂直于底面，∴PA⊥CD．又底面ABCD是矩形，∴AD⊥CD，
这样，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．
（2）取CD的中点G，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴FG是三角形CPD的中位线，
∴FG∥PD，FG∥面PAD．∵底面ABCD是矩形，∴EG∥AD，EG∥平面PAD．
故平面EFG∥平面PAD，∴EF∥平面PAD．
（3）∵直线EF⊥平面PCD，∴EF⊥FG．设PA=x，AD=y，则 PD=√(x2+ y2)．
由于∠PDA 和∠EGF的两边分别平行，故∠PDA=∠EGF． EF=√(EG2− FG2)=√(AD2−((PD)/(2))2)=(√(3y2−x2))/(2)，
∵tan∠PDA=(PA)/(AD)=(x)/(y)，tan∠EGF=(EF)/(FG)=((√(3y2−x2))/(2))/(作业帮用户2017-11-03问题解析（1）证明PA⊥CD，AD⊥CD，证得CD⊥平面PAD，从而有CD⊥PD．（2）取CD的中点G，由FG是三角形CPD的中位线，可得 FG∥PD，再由举行的性质得 EG∥AD，证明平面EFG∥平面PAD，从而证得EF∥平面PAD．（3）由条件可得，∠PDA=∠EGF，设PA=x，AD=y，由于tan∠PDA=(PA)/(AD)=(x)/(y)，tan∠EGF=(EF)/(FG)=(√(3y2−x2))/(√(x2+y2))，得到(x)/(y)=(√(3y2−x2))/(√(x2+y2))，化简得((x)/(y))4+2 ((x)/(y))2−3 ＝ 0，解方程求得(x)/(y)的值．名师点评本题考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．考点点评：本题考查证明线线垂直、线面平行的方法，以及求线段长度之比，判断∠PDA=∠EGF 是解题的关键．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)