一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和BC与两小球以一个小环通过铰链连接．轻杆长均为l=0.5m，球和小环的质量均为m=1kg，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O与

Question

一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和BC与两小球以一个小环通过铰链连接．轻杆长均为l=0.5m，球和小环的质量均为m=1kg，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L₀=1m，装置静止时弹簧长为L=0.8m，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢下降．已知轻杆产生的作用力沿杆方向，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g=10m/s²，求：

（1）弹簧的劲度系数k；
（2）若去掉杆OA和OC，杆AB与转轴的夹角为53°时装置转动的角速度ω以及此时弹簧的长度（sin53°=0.8，cos53°=0.6）．

Answer 1

（1）装置静止时，设AB、OA杆中的弹力分别为F₁、F₂，OA杆与转轴的夹角为θ．
小环受到弹簧的弹力 F_弹1=k•x₁，
小环受力平衡：F_弹1=mg+2F₁cosθ，
小球受力平衡：F₁cosθ+F₂cosθ-mg=0；
             F₁sinθ-F₂sinθ=0，
解得：k=(2mg)/(x1)=(2×10)/(1-0.8)N=200N/m
（2）若去掉杆OA和OC，设AB杆中的弹力分别为T，弹簧长度为x．
小环受到弹簧的弹力：F_弹2=k（L₀-x）
小环受力平衡：F_弹2=mg+2Tcos53°
对小球：Tcos53°=mg； 
       Tsin53°=mω²lsin53°；
解得：ω=√((g)/(lcos53°))=(10√(3))/(3)rad/s，x=0.85m
答：（1）弹簧的劲度系数k是200N/m．
（2）装置转动的角速度ω是(10√(3))/(3)rad/s，此时弹簧的长度是0.85m．