设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为A，直线AF的倾斜角为45°，(1)求椭圆的离心率；(2)设过点A且与AF垂直的直线与椭圆右准线的交点为B，过A、B、F三点的圆M恰好与直线3x-y+3=0相切，求椭

Question

设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为A，直线AF的倾斜角为45°，
(1)求椭圆的离心率；
(2)设过点A且与AF垂直的直线与椭圆右准线的交点为B，过A、B、F三点的圆M恰好与直线3x-y+3=0相切，求椭圆的方程及圆M的方程．
____

Answer 1

【分析】(1)由直线AF的倾斜角为45°可知b=c，进而根据a=求得a和c的关系，进而可得答案．
\n(2)依题意可得直线AB的方程为y=-x+c，右准线方程为x=2c，进而可求得B点坐标，依据AF⊥AB可知过A，B，F三点的圆的圆心坐标进而可得圆的半径，根据过A，B，F三点的圆恰好与直线3x-y+3=0相切可知圆心到直线3x-y+3=0的距离等于半径，建立等式可求得b，进而求得a和c．椭圆和圆的方程可得．

(1)∵直线AF的倾斜角为45°，
\n∴b=c，
\n∴a==c
\n∴e==
\n故椭圆的离心率为；
\n(2)由(1)知，直线AB的方程为y=-x+c，右准线方程为x=2c，
\n可得B(2c，-c)，
\n∵AF⊥AB，
\n∴过A，B，F三点的圆的圆心坐标为，
\n半径，
\n∵过A，B，F三点的圆恰好与直线3x-y+3=0相切，
\n所以圆心到直线3x-y+3=0的距离等于半径r，即，
\n得c=1，
\n∴，
\n∴椭圆的方程为．
\n圆M的方程为．

【点评】本题主要考查了椭圆的应用．注意圆锥曲线之间相交和相切的关系，根据这些关系找到解决问题的途径．