（2013•丽水一模）离心率为e1的椭圆与离心率为e2的双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列，则e21−1e22−1=（）A．-

Question

（2013•丽水一模）离心率为e₁的椭圆与离心率为e₂的双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列，则(e21−1)/(e22−1)=（　　）

A．-e₁
B．-e₂
C．−(1)/(e1)
D．−(1)/(e2)

Answer 1

设椭圆方程为(x2)/(a12)+(y2)/(b12)＝1（a₁＞b₁＞0），双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0）
它们一个公共的焦点为F（c，0）
∵椭圆长轴端点A到双曲线的渐近线bx-ay=0的距离|AC|=(|ba1|)/(√(a2+b2))=(ba1)/(c)
 椭圆短轴轴端点B到双曲线的渐近线bx-ay=0的距离|BD|=(|ab1|)/(√(a2+b2))=(ab1)/(c)
椭圆焦点F到双曲线的渐近线bx-ay=0的距离|FG|=(|bc|)/(√(a2+b2))=b
∴((ab1)/(c))2=(ba1)/(c)•b，可得a²b 12=b²ca₁
因此，(e21−1)/(e22−1)=(((c)/(a1))2−1)/(((c)/(a))2−1)=((c2−a12)/(a12))/((c2−a2)/(a2))=-(b12)/(a12)•(a2)/(b2)=-(b2ca1)/(a12b2)=-(c)/(a1)=-e₁
故选：A