已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），离心率为32，两焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），离心率为(√(3))/(2)，两焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线交椭圆C于M，N两点，且△F₂MN的周长为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（m，0）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|的最大值．

Answer 1

（1）由题得：(c)/(a)＝(√(3))/(2)，4a=8，所以a=2，c＝√(3)．    …（3分）
又b²=a²-c²，所以b=1即椭圆C的方程为(x2)/(4)+y2＝1．…（4分）
（2）由题意知，|m|≥1．
当m=1时，切线l的方程x=1，点A、B的坐标分别为(1，(√(3))/(2))，(1，−(√(3))/(2))，
此时|AB|＝√(3)； 当m=-1时，同理可得|AB|＝√(3)…（5分）
当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x-m），（k≠0）
由

y＝k(x−m)

(x2)/(4)+

y

2

＝1.

得(1+4

k

2

)

x

2

−8k2mx+4k2m2−4＝0
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则△=64k⁴m²-16（1+4k²）（4k²m²-4）=48k²＞0x1+x2＝(8k2m)/(1+4k2)，x1x2＝(4k2m2−4)/(1+4k2)
又由l与圆

x

2

+

y

2

＝1相切，得(|km|)/(√(k2+1))＝1，即m2k2＝k2+1．得k2＝(1)/(m2−1)
所以|AB|＝√((x2−x1)2+(y2−y1)2)=√((1+k2)[(64k4m2)/((1+4k2)2)−(4(4k2m2−4))/(1+4k2)])=(4√(3)|m|)/(m2+3)…（9分）
因为|m|≥1所以|AB|＝(4√(3)|m|)/(m2+3)＝(4√(3))/(|m|+(3)/(|m|))≤2，
且当m＝±√(3)时，|AB|=2，
由于当m=±1时，|AB|＝√(3)，所以|AB|的最大值为2．…（12分）