如图所示，过点M（-6，0）作圆C：x2+y2-6x-4y+9=0的割线，交圆C于A、B两点．（1）求线段AB的中点P的轨迹；（2）在线段AB上取一点Q，使1MA+1MB＝2MQ，求点Q的轨迹．

Question

如图所示，过点M（-6，0）作圆C：x²+y²-6x-4y+9=0的割线，交圆C于A、B两点．
（1）求线段AB的中点P的轨迹；
（2）在线段AB上取一点Q，使(1)/(MA)+(1)/(MB)＝(2)/(MQ)，求点Q的轨迹．

Answer 1

（1）圆C的方程为（x-3）²+（y-2）²=4，其圆心为C（3，2），半径为2．
又M∈{M|PC⊥MP，P在已知圆内}，
设P点坐标（x，y），则CP的斜率为(y−2)/(x−3)(x≠3)，MP的斜率为(y)/(x+6)(x≠−6)，
所以(y−2)/(x−3)•(y)/(x+6)＝−1，化简得x²+y²+3x-2y-18=0．
点C（3，2）应在轨迹上，而x=3时，y=2满足方程x²+y²+3x-2y-18=0，
所以点P的轨迹是圆x²+y²+3x-2y-18=0在已知圆内的一段弧．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），直线AB的斜率为k，则有MA＝√(1+k2)(x1+6)， MB＝√(1+k2)(x2+6)，MQ＝√(1+k2)(x+6)，
代入(1)/(MA)+(1)/(MB)＝(2)/(MQ)，有(1)/(x1+6)+(1)/(x2+6)＝(2)/(x+6)，
即(2)/(x+6)＝(x1+x2+12)/(x1x2+6(x1+x2)+36)，①
把y=k（x+6）代入x²+y²-6x-4y+9=0，得（k²+1）x²+2（6k²-2k-3）x+3（12k²-8k+3）=0，x1+x2＝−(2(6k2−2k−3))/(k2+1)，x1•x2＝

作业帮用户 2017-10-05

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