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如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠A=30°.(1)若∠ABD=120°,CD⊥BD,求证:CD是⊙O的切线;(2)若AC=23,求劣弧AC的长.
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如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠A=30°.
(1)若∠ABD=120°,CD⊥BD,求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AC=2
,求劣弧
的长.
(1)若∠ABD=120°,CD⊥BD,求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AC=2
3 |
AC |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接BC,如图所示.
∵AB为圆O的直径,
∴∠ACB=90°,又∠BAC=30°,
∴∠ABC=60°,
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB=60°,
∵∠ABD=120°,
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=60°,
∵BD⊥CD,
∴∠D=90°,
∴∠BCD=30°,
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°,
∴CD⊥OC,
则CD为圆O的切线;
(2)∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
又∵∠A=30°,AC=2
,
∴AB=
=
=4,
又点O是AB的中点,
∴OA=
AB=2.
∵∠AOC=180°-2∠A=120°,
∴劣弧
的长为:
=
π.
∵AB为圆O的直径,
∴∠ACB=90°,又∠BAC=30°,
∴∠ABC=60°,
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB=60°,
∵∠ABD=120°,
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=60°,
∵BD⊥CD,
∴∠D=90°,
∴∠BCD=30°,
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°,
∴CD⊥OC,
则CD为圆O的切线;
(2)∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
又∵∠A=30°,AC=2
3 |
∴AB=
AC |
cos30° |
2
| ||||
|
又点O是AB的中点,
∴OA=
1 |
2 |
∵∠AOC=180°-2∠A=120°,
∴劣弧
AC |
120π×2 |
180 |
4 |
3 |
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