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如图,已知正方形ABCD的边长为2,点E为AB的中点.以A为圆心,AE为半径,作弧交AD于点F.若P为劣弧EF上的动点,则PC•PD的最小值为.
题目详情
如图,已知正方形ABCD的边长为2,点E为AB的中点.以A为圆心,AE为半径,作弧交AD于点F.若P为劣弧
上的动点,则
•
的最小值为___.
EF |
PC |
PD |
▼优质解答
答案和解析
如图,以A为原点,边AB,AD所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,则:
A(0,0),C(2,2),D(0,2),设P(cosθ,sinθ);
∴
•
=(2-cosθ,2-sinθ)•(-cosθ,2-sinθ)
=(2-cosθ)(-cosθ)+(2-sinθ)2
=5-2(cosθ+2sinθ)=5-2
sin(θ+φ),tanφ=
;
∴sin(θ+φ)=1时,
•
取最小值5-2
.
故答案为:5-2
.
A(0,0),C(2,2),D(0,2),设P(cosθ,sinθ);
∴
PC |
PD |
=(2-cosθ)(-cosθ)+(2-sinθ)2
=5-2(cosθ+2sinθ)=5-2
5 |
1 |
2 |
∴sin(θ+φ)=1时,
PC |
PD |
5 |
故答案为:5-2
5 |
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