设抛物线过定点A（-1，0），且以直线x=1为准线．（Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x=-12平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y=kx

Question

设抛物线过定点A（-1，0），且以直线x=1为准线．
（Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x=-(1)/(2)平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y=kx+m，试求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设抛物线的顶点为G（x，y），则其焦点为F（2x-1，y）由抛物线的定义可知：|AF|=点A到直线x=1的距离为2，
所以，√(4x2+y2)=2
所以，抛物线顶点G的轨迹C的方程为x²+(y2)/(4)=1（x≠1）
（Ⅱ）显然，直线l与坐标轴不可能平行，所以，设直线l的方程为y=-(1)/(k)x+b，
代入椭圆方程得：((4k2+1)/(k2))x²-(2bx)/(k)+b²-4=0
由于l与轨迹C交于不同的两点M，N，所以，△=(4b2)/(k2)-4（(4k2+1)/(k2)）（b²-4）＞0，即4k²-k²b²+1＞0（k≠0）（*）
又线段MN恰被直线x=-(1)/(2)平分，所以，x_M+x_N=(2bk)/(4k2+1)=2×（-(1)/(2)）
所以bk=(4k2+1)/(−2)，代入（*）可解得：-(√(3))/(2)＜k＜(√(3))/(2)（k≠0）
由于y=kx+m为弦MN的垂直平分线，故可考虑弦MN的中点P（-

作业帮用户 2016-12-03

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