已知圆M的圆心在直线2x-y-6=0上，且过点（1，2）、（4，-1）．（1）求圆M的方程；（2）设P为圆M上任一点，过点P向圆O：x2+y2=1引切线，切点为Q．试探究：平面内是否存在一定点R，使得PQPR为定

Question

已知圆M的圆心在直线2x-y-6=0上，且过点（1，2）、（4，-1）．
（1）求圆M的方程；
（2）设P为圆M上任一点，过点P向圆O：x²+y²=1引切线，切点为Q．试探究：平面内是否存在一定点R，使得(PQ)/(PR)为定值？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵圆M的圆心在直线2x-y-6=0上，且过点（1，2）、（4，-1）．
∴设圆心坐标为（m，2m-6），半径为r，
则圆的标准范围为（x-m）²+（y-2m+6）²=r²；
则（1-m）²+（2-2m+6）²=r²且（4-m）²+（-1-2m+6）²=r²；
即（m-1）²+（8-2m）²=r²且（m-4）²+（5-2m）²=r²；
解得m=4，r=3，
∴圆M：（x-4）²+（y-2）²=9．
（2）设P（x，y），R（a，b），
则（x-4）²+（y-2）²=9，
即x²+y²=8x+4y-11，
又PQ²=x²+y²-1，PR²=（x-a）²+（y-b）²=x²+y²-2ax-2by+a²+b²，
故PQ²=8x+4y-12，
PR²=（8-2a）x+（4-2b）y+a²+b²-11，
又设(PQ)/(PR)＝t为定值，
故8x+4y-12=t²[（8-2a）x+（4-2b）y+a²+b²-11]，
可得

8＝(8−2a)t2           

4＝(4−2b)t2           

−12＝(a2+b2−11)t2

，
解得

a1＝2  

b1＝1   

t1＝√(2)

或

a2＝(2)/(5)   

b2＝(1)/(5)    

t2＝(√(10))/(3)

，
综上，存在点R（2，1）或((2)/(5) ， (1)/(5))满足题意．