1.已知抛物线y2=-x,直线y=k（k+1)相交于A、B两点,当三角形OAB的面积等于根号10时,求k的值.2.若一直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A、B两点且OA垂直OB,点O在直线AB上的射影为D（2,1）,求抛物线的方程

Question

1.已知抛物线y2=-x,直线y=k（k+1)相交于A、B两点,当三角形OAB的面积等于根号10时,求k的值.
2.若一直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A、B两点且OA垂直OB,点O在直线AB上的射影为D（2,1）,求抛物线的方程

Answer 1

具体解答如下：
（1）我想第一题是否写错了,我猜直线方程应该是y=k（x+1)
所以我就按我该的来计算啦呵呵
分析：此类问题是和面积相关,面积又和弦长相关,所以解析几何
与面积和长度有关的题目想到弦长公式,也就是题中AB的长度,然后
利用点O到AB的距离,就可以表达面积,然后解方程求K,具体如下
设点A（x1,y1）B （x2,y2）联立方程y=k（x+1)与y2=-x消去y得：
k^2x^2+(2K^2+1)x+k^2=0,则判别式=4k^2+1>0,
由韦达定理得：x1+x2=(-1)*(2K^2+1)/k^2；x1x2=1
y1=k(x1+1),y2=k(x2+1),故y1-y2=k(x1-x2)
由两点距离公式得AB^2=（x1-x2）^2+（y1-y2）^2=（1+k^2）（x1-x2）^2
=（1+k^2）[（x1+x2）^2-4x1x2]=（1+k^2)(4k^2+1)/k^4
点O到直线AB的距离为：d^2=k^2/(1+k^2)
所以面积S^2=(1/4)*[(1+k^2)(4k^2+1)/k^4]*[k^2/(1+k^2)]=10
解得k=1/6或k=-1/6
总结：弦长公式一般表达为AB^2=（1+k^2）[（x1+x2）^2-4x1x2]会经常用到
（2） 由已知OD垂直于AB,则AB的斜率为-2,故直线AB为y-1=-2(x-2)即y=-2x+5
设点A（x1,y1）B （x2,y2）,联立方程y=-2x+5和y2=2px,消去x,得：y^2+py-5p=0,则y1*y2=-5p
又因为OA垂直OB,则转化成向量为OA*OB=x1x2+y1y2=0,
又因为点A,B都在抛物线上,故x1x2+y1y2=（y1y2）/4p^2+y1y2=25/4-5p=0,则P=5/4;
总结：此题目中关键是对垂直条件的转化,这样可以很好的利用向量转为为坐标
表达式,这种转化方式在解析几何中经常用到