如图所示扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，D为弧上一动点，过D作DE∥OA交OB于点E．I为△ODE的内心，当点D运动时，I也随着运动．则经过O、I、B三点的弧所在圆的半径为．

Question

如图所示扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，D为弧上一动点，过D作DE∥OA交OB于点E．I为△ODE的内心，当点D运动时，I也随着运动．则经过O、I、B三点的弧所在圆的半径为___．

Answer 1

如图所示：连接OI、DI、BD，以OD为弦作圆C，在圆C上取一点F．

∵I是△ODE的内心，
∴∠IDO=(1)/(2)∠EDO，∠DOI=(1)/(2)∠DOB．
∴∠IDO+∠DOI=(1)/(2)（∠EDO+∠DOB）=(1)/(2)×90°=45°．
∴∠OID=45°．
∵I是△ODE的内心，
∴∠DOI=∠BOI．
在△DOI和△BOI中，

OD=OB

∠DOI=∠BOI

OI=OI

，
∴△△DOI≌△BOI．
∴∠OIB=∠OID=135°．
∴点I在以OB为弦且所对的圆周角为135°的一段劣弧上．
∵四边形OFDI是圆内接四边形，
∴∠F+∠OID=180°．
∴∠F=45°．
∴∠OCD=90°．
∵CO=CB，
∴∠COD=45°．
∴OC=(√(2))/(2)×OB=(√(2))/(2)×6=3√(2)．
故答案为：3√(2)．