如图，己知AB是O的直径，且AB=4，点C在半径OA上（点C与点O、点A不重合），过点C作AB的垂线交O于点D．连接OD，过点B作OD的平行线交O于点E，交CD的延长线于点F．（1）若点E是BD的中点，求∠F

Question

如图，己知AB是 O的直径，且AB=4，点C在半径OA上（点C与点O、点A不重合），过点C作AB的垂线交 O于点D．连接OD，过点B作OD的平行线交 O于点E，交CD的延长线于点F．

（1）若点E是

BD

的中点，求∠F的度数；
（2）求证：BE=2OC；
（3）设AC=x，则当x为何值时BE•EF的值最大？最大值是多少？

Answer 1

（1）如图1，连接OE．
∵

ED

=

BE

，
∴∠BOE=∠EOD，
∵OD∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；

（2）连接OE，过O作OM⊥BE于M，
∵OB=OE，
∴BE=2BM，
∵OD∥BF，
∴∠COD=∠B，
在△OBM与△ODC中

∠OCD=∠OMB=90°

∠COD=∠B

OD=OM

，
∴△OBM≌△ODC，
∴BM=OC，
∴BE=2OC；

（3）∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴(OC)/(BC)=(OD)/(BF)，
∵AC=x，AB=4，
∴OA=OB=OD=2，
∴OC=2-x，BE=2OC=4-2x，
∴(2-x)/(4-x)=(2)/(BF)，
∴BF=(8-2x)/(2-x)，
∴EF=BF-BE=(-2x2+6x)/(2-x)，
∴BE•EF=(-2x2+6x)/(2-x)•2（2-x）=-4x²+12x=-4（x-(3)/(2)）²+9，
∴当x=(3)/(2)时，最大值=9．