如图，设双曲线C1：y2a2-x2b2=1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，点B为双曲线虚轴的左端点，已知Cl的离心率为233，且△ABF的面积S=1-32．（Ⅰ）求双曲线Cl的方程；（Ⅱ）设抛物线C2的顶

Question

如图，设双曲线C₁：(y2)/(a2)-(x2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，点B为双曲线虚轴的左端点，已知C_l的离心率为(2√(3))/(3)，且△ABF的面积S=1-(√(3))/(2)．
（Ⅰ）求双曲线C_l的方程；
（Ⅱ）设抛物线C₂的顶点在坐标原点，焦点为F，动直线l与C₂相切于点P，与C₂的准线相交于点Q试推断以线段PQ为直径的圆是否恒经过y轴上的某个定点M？若是，求出定点M的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵双曲线C₁：(y2)/(a2)-(x2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，
上顶点为A，点B为双曲线虚轴的左端点，
C_l的离心率为(2√(3))/(3)，且△ABF的面积S=1-(√(3))/(2)，
∴

e=(c)/(a)=(2√(3))/(3)

(1)/(2)(c-a)b=1-(√(3))/(2)

c2=a2+b2

，解得a=√(3)，b=1．c=2，
∴双曲线方程为(y2)/(3)-x²=1．
（Ⅱ）由题设，抛物线C₂的方程为x²=8y，准线方程为y=-2，
由y=

作业帮用户 2016-12-07

问题解析

（Ⅰ）由已知得

e=(c)/(a)=(2√(3))/(3)

(1)/(2)(c-a)b=1-(√(3))/(2)

c2=a2+b2

，由此能求出双曲线方程．
（Ⅱ）由题设，抛物线C₂的方程为x²=8y，准线方程为y=-2，由y=(1)/(8)x2，得y′=(1)/(4)x，设P（x0，(1)/(8)x02），则直线l的方程y=(1)/(4)x0x-(1)/(8)x02，联立y=-2，得Q（(x02-16)/(2x0)，-2），假设存在定点M（0，m）满足题设条件，由已知条件求出m=2，故以PQ为直径的圆经过y轴上的定点M（0，2）．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查双曲线方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

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