已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点P（1，32）（Ⅰ）椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点．（1）当直线l的倾斜角为45°时

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点P（1，(3)/(2)）
（Ⅰ）椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左右焦点分别为F₁，F₂，过点F₂的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）当直线l的倾斜角为45°时，求|MN|的长；
（2）求△MF₁N的内切圆的面积的最大值，并求出当△MF₁N的内切圆的面积取最大值时直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由已知，得a²-b²=c²=1，且(1)/(a2)+((9)/(4))/(b2)＝1，
解得：a²=4，b²=3．
故椭圆C的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1；
（Ⅱ）（1）直线l的方程为y=x-1，
联立

y＝x−1

(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1

，消去x得，7x²-8x-8=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2＝(8)/(7)，x1x2＝−(8)/(7)．
∴|MN|=√(1+1)|x1−x2|＝√(2)×√((x1+x2)2−4x1x2作业帮用户2017-11-15问题解析（Ⅰ）由椭圆的焦距2c=1结合隐含条件得关于a，b的一个方程，再由椭圆过点P（1，(3)/(2)）得另一方程，联立方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）（1）写出直线l的方程和椭圆方程联立后由弦长公式求得|MN|的长；（2）设出直线l的方程x=my+1，和椭圆方程联立，得到当S△MF1N最大时，r也最大，△MF1N的内切圆面积也最大，利用根与系数关系把△MF1N的面积转化为含有m的代数式，换元后利用导数判断其单调性，由函数单调性求得最值并得到直线l的方程．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．考点点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)