已知抛物线y=ax的平方+bx+c(a不等于0）与x轴教育不同的两点A（x1,o)和B（x2,0）,与y轴的正半轴交于点C,如果X1,X2是方程X的平方-x-6=0的两个根（x1＜X2),有三角形ABC的面积为15/2.（1）求次抛物线的解

Question

已知抛物线y=ax的平方+bx+c(a不等于0）与x轴教育不同的两点A（x1,o)和B（x2,0）,与y轴的正半轴交于点C,如果X1,X2是方程X的平方-x-6=0的两个根（x1＜X2),有三角形ABC的面积为15/2.
（1）求次抛物线的解析式.
（2）求直线AC和BC的函数关系式.
（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与A.C.重合）,过点P作直线Y=M（M为常数）与直线BC相交于点Q,则在X轴上是否存在点R,是的一PQ为一腰的△PQR为等腰直角三角形?若存在,求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）解方程x2-x-6=0,
得x1=-2,x2=3,
∴A（-2,0）,B（3,0）,
将A、B、C三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c,
4a−2b+c＝0
9a+3b+c＝0
c＝3
,
解得
a＝−
1
2
b＝
1
2
c＝3
,
∴抛物线的解析式为y=-
1
2
x2+
1
2
x+3,
（2）直线AC的解析式：y＝
3
2
x+3；（4分）
直线BC的解析式：y=-x+3．（5分）（6分）
（3）存在满足条件的点R,并设直线y=m与y轴的交点E（0,m）,
由（1）知：|AB|=5,|OC|=3,
∵点P不与点A、C重合,
∴点E（0,m）不与点O、C重合．
∴0＜m＜3,由于PQ为等腰直角三角形PQR的一腰,
过点P作PR1⊥x轴于点R1,则∠R1PQ=90°,
|PQ|=|PR1|=|OE|=m,
∵PQ∥AB,
∴△CPQ∽△CAB．
∴
|PQ|
|AB|
＝
|EC|
|OC|
,
即
m
5
＝
3−m
3
解得m=
15
8
,
∴P（xP,
15
8
）,Q（xQ,
15
8
）,
∵点P在直线AC上,
∴
2
3
xP+3=
15
8
,
解得xP=−
3
4
,
P（-
3
4
,
15
8
）,
∴点R1（-
3
4
,0）．
过点Q作QR2⊥x轴于点R2,则∠R2QP=90°,
同理可求得xQ=
9
8
,Q（
9
8
,
15
8
）．
∴点R2（
9
8
,0）,
所以存在满足条件的点R,他们分别是R1（-
3
4
,0）,R2（
9
8
,0）；
（4）E（2,2）．（14分）