求三角函数知识点例题一、角的概念和弧度制：1.在直角坐标系内讨论角2.与角终边相同的集合一些特殊角的集合表示3.区间角的表示4.通过角度来判定终边所在象限5.弧长公式的运用6.弧度制

Question

求三角函数知识点例题
一、角的概念和弧度制：
1.在直角坐标系内讨论角
2.与角终边相同的集合
一些特殊角的集合表示
3.区间角的表示
4.通过角度来判定终边所在象限
5.弧长公式的运用
6.弧度制
二、任意角的三角函数
1.任意角的三角函数定义
2.画出角的正弦余弦正切线
3.特殊角的三角函数值
三、同角三角函数的关系与诱导公式：
1.同三角函数的关系,平方关系、倒数关系、商式关系
2.诱导公式同三角函数的关系及运用
①已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值.
②求任意角的三角函数值.
尽量在每一点后面写上例题,注明是哪一点,

Answer 1

三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域.另一种定义是在直角三角形中,但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系.它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割.由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数.三角函数在复数中有较为重要的应用.在物理学中,三角函数也是常用的工具. 目录[隐藏]定义 基本公式 同角三角函数关系式 恒等变形公式 诱导公式相关计算 相关概念 三角形与三角函数 定义域和值域 初等三角函数导数 倍半角规律 反三角函数高等数学内容 定义 基本公式 同角三角函数关系式 恒等变形公式 诱导公式相关计算 相关概念 三角形与三角函数 定义域和值域 初等三角函数导数 倍半角规律 反三角函数高等数学内容
[编辑本段]定义　　它有六种基本函数(初等基本表示)：
　　在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为（x,y）有
　　正弦函数 sinθ=y/r
　　余弦函数 cosθ=x/r
　　正切函数 tanθ=y/x
　　余切函数 cotθ=x/y
　　正割函数 secθ=r/x
　　余割函数 cscθ=r/y
　　（斜边为r,对边为y,邻边为x.）
　　以及两个不常用,已趋于被淘汰的函数：
　　正矢函数 versinθ =1-cosθ
　　余矢函数 coversθ =1-sinθ
　　正弦（sin）:角α的对边比上斜边
　　余弦（cos）:角α的邻边比上斜边
　　正切（tan）:角α的对边比上邻边
　　余切（cot）:角α的邻边比上对边
　　正割（sec）:角α的斜边比上邻边
　　余割（csc）:角α的斜边比上对边 [编辑本段]基本公式　　 同角三角函数关系式
　　　·平方关系：
　　(sinx)^2+(cosx)^2=1
　　1＋(tanx)^2＝(secx)^2
　　1＋(cotx)^2＝(cscx)^2
　　·积的关系：
　　sinα=tanα×cosα
　　cosα=cotα×sinα
　　tanα=sinα×secα
　　cotα=cosα×cscα
　　secα=tanα×cscα
　　cscα=secα×cotα
　　·倒数关系：
　　tanα ·cotα＝1
　　sinα ·cscα＝1
　　cosα ·secα＝1
　　商的关系：
　　sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
　　cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
　　直角三角形ABC中,
　　角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
　　余弦等于角A的邻边比斜边
　　正切等于对边比邻边,
　　对称性
　　180度-α的终边和α的终边关于y轴对称.
　　-α的终边和α的终边关于x轴对称.
　　180度+α的终边和α的终边关于原点对称.
　　180度/2-α的终边关于y=x对称.
　　 恒等变形公式
　　　·两角和与差的三角函数：
　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
　　·三角和的三角函数：
　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
　　cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
　　·辅助角公式：
　　Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+arctan(B/A)),其中
　　sint=B/√(A²+B²)
　　cost=A/√(A²+B²)
　　tant=B/A
　　Asinα-Bcosα=√(A²+B²)cos(α-t),tant=A/B
　　·倍角公式：
　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
　　cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=)=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2　
　　tan(2α)=2tanα/(1-tan²α)
　　·三倍角公式：
　　sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
　　cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
　　tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan³α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
　　·半角公式：
　　sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
　　cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
　　tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
　　·降幂公式
　　sin²α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
　　cos²α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
　　tan²α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
　　·万能公式：
　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]
　　cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]
　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]
　　·积化和差公式：
　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
　　cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
　　sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
　　·和差化积公式：
　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
　　·推导公式
　　tanα+cotα=2/sin2α
　　tanα-cotα=-2cot2α
　　1+cos2α=2cos²α
　　1-cos2α=2sin²α
　　1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]²
　　·其他：
　　sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
　　cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
　　sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2
　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
　　cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx
　　证明：
　　左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx
　　=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差）
　　=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边
　　等式得证
　　sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx
　　证明:
　　左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)
　　=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)
　　=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边
　　等式得证
　　三倍角公式推导
　　sin3a
　　=sin(2a+a)
　　=sin2acosa+cos2asina
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina
　　=3sina-4sin³a
　　cos3a
　　=cos(2a+a)
　　=cos2acosa-sin2asina
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos²a)cosa
　　=4cos³a-3cosa
　　sin3a=3sina-4sin³a
　　=4sina(3/4-sin²a)
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a]
　　=4sina(sin²60°-sin²a)
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2]
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
　　cos3a=4cos³a-3cosa
　　=4cosa(cos²a-3/4)
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²]
　　=4cosa(cos²a-cos²30°)
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
　　上述两式相比可得
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
　　 诱导公式
　　　公式一：
　　设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：
　　 sin（2kπ＋α）＝sinα
　　cos（2kπ＋α）＝cosα
　　tan（2kπ＋α）＝tanα
　　cot（2kπ＋α）＝cotα
　　公式二：
　　设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（π＋α）＝－sinα
　　cos（π＋α）＝－cosα
　　tan（π＋α）＝tanα
　　cot（π＋α）＝cotα
　　公式三：
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
　　sin（－α）＝－sinα
　　cos（－α）＝cosα
　　tan（－α）＝－tanα
　　cot（－α）＝－cotα
　　公式四：
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（π－α）＝sinα
　　cos（π－α）＝－cosα
　　tan（π－α）＝－tanα
　　cot（π－α）＝－cotα
　　公式五：
　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（2π－α）＝－sinα
　　cos（2π－α）＝cosα
　　tan（2π－α）＝－tanα
　　cot（2π－α）＝－cotα
　　公式六：
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（π/2＋α）＝cosα
　　cos（π/2＋α）＝－sinα
　　tan（π/2＋α）＝－cotα
　　cot（π/2＋α）＝－tanα
　　sin（π/2－α）＝cosα
　　cos（π/2－α）＝sinα
　　tan（π/2－α）＝cotα
　　cot（π/2－α）＝tanα
　　sin（3π/2＋α）＝－cosα
　　cos（3π/2＋α）＝sinα
　　tan（3π/2＋α）＝－cotα
　　cot（3π/2＋α）＝－tanα
　　sin（3π/2－α）＝－cosα
　　cos（3π/2－α）＝－sinα
　　tan（3π/2－α）＝cotα
　　cot（3π/2－α）＝tanα
　　(以上k∈Z)
　　补充：6×9＝54种诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）
　　 f(β)→
　　f(β)＝↘
　　β↓
　　sinβ
　　cosβ
　　tanβ
　　cotβ
　　secβ
　　cscβ360k+αsinαcosαtanαcotαsecαcscα90°-αcosαsinαcotαtanαcscαsecα90°+αcosα-sinα-cotα-tanα-cscαsecα180°-αsinα-cosα-tanα-cotα-secαcscα180°+α-sinα-cosαtanαcotα-secα-cscα270°-α-cosα-sinαcotαtanα-cscα-secα270°+α-cosαsinα-cotα-tanαcscα-secα360°-α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα﹣α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα
　　定名法则
　　90°的奇数倍+α的三角函数,其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数.90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同.也就是“奇余偶同,奇变偶不变”
　　定号法则
　　将α看做锐角（注意是“看做”）,按所得的角的象限,取三角函数的符号.也就是“象限定号,符号看象限”.（或为“奇变偶不变,符号看象限”在Kπ/
　　2中如果K为奇数时函数名不变,若为偶数时函数名变为相反的函数名.正负号看原函数中α所在象限的正负号.关于正负号有可口诀；一全二正弦,三切四余弦,即第一象限全部为正,第二象限角正弦为正,第三为正切为正,第四象限余弦为正.）
　　比如:90°+α.定名：90°是90°的奇数倍,所以应取余函数；定号：将α看做锐角,那么90°+α是第二象限角,第二象限角的正弦为正,余弦为负.所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)＝-sinα 这个非常神奇,屡试不爽~
　　还有一个口诀“纵变横不变,符号看象限”,例如：sin(90°+α),90°的终边在纵轴上,所以函数名变为相反的函数名,即cos,将α看做锐角,那么90°+α是第二象限角,第二象限角的正弦为正,所以sin(90°+α)=cosα [编辑本段]相关计算　　幂级数
　　c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
　　c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
　　它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.
　　泰勒展开式(幂级数展开法):
　　f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...
　　实用幂级数：
　　ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...
　　ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+... (|x|