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高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,并投入资金1500万元作为固定投资,已知生产每件产品的成本是40元.在销售过程中发现:当销售单价定为100
题目详情
高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,并投入资金1500万元作为固定投资,已知生产每件产品的成本是40元.在销售过程中发现:当销售单价定为100元时,年销售量为20万件;销售单价每增加10元,年销售量将减少1万件,设销售单价为x(元),年销售量为y(万件),年获利(年获利=年销售额一生产成本-投资)为z(万元).
(1)试写出y与x之间的函数关系式(不写x的取值范围);
(2)试写出z与x之间的函数关系式(不写x的取值范围);
(3)计算销售单价为160元时的年获利,并说明同样的年获利,销售单价还可定为多少元?相应的年销售量分别为多少万件?
(4)公司计划,在第一年按年获利最大确定销售单价进行销售;到第二年年底获利不低于1130万元,请借助函数的大致图象说明:第二年的销售单价x(元)应确定在什么范围内?
(1)试写出y与x之间的函数关系式(不写x的取值范围);
(2)试写出z与x之间的函数关系式(不写x的取值范围);
(3)计算销售单价为160元时的年获利,并说明同样的年获利,销售单价还可定为多少元?相应的年销售量分别为多少万件?
(4)公司计划,在第一年按年获利最大确定销售单价进行销售;到第二年年底获利不低于1130万元,请借助函数的大致图象说明:第二年的销售单价x(元)应确定在什么范围内?
▼优质解答
答案和解析
(1)依题意知,当销售单价定为x元时,年销售量减少
(x-100)万件,
∴y=20-
(x-100)=-
x+30,
即y与x之间的函数关系式是y=-
x+30.
(2)由题意得:
z=(30-
x)(x-40)-500-1500=-
x2+34x-3200,
即z与x之间的函数关系是z=-
x2+34x-3200.
(3)∵当x=160时,z=-
×1602+34×160-3200=-320
∴-320=-
x2+34x-3200,
整理,得x2-340x+28800=0,
解得x1=160,x2=180.
即同样的年获利,销售单价还可以定为180元,
当x=160时,y=-
×160+30=14;
当x=180时,y=-
×180+30=12.
即相应的年销售量分别为14万件和12万件.
(4)∵z=-
x2+34x-3200=-
(x-170)2-310.
∴当x=170时,z取最大值,为-310,
即当销售单价为170元,年获利最大,并且第一年年底公司还差310万元就可收回全部投资.
第二年的销售单价定为x元时,年获利为:
z=(30-
x)(x-40)-310=-
x2+34x-1510.
当z=1130时,即1130=-
x2+34x-1510,
整理得x2-340x+26400=0,
解得:x1=120,x2=220.
函数z=-
x2+34x-1510的图象大致如图所示,
由图象可以看出:当120≤x≤220时,z≥1130.
故第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内.
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∴y=20-
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即y与x之间的函数关系式是y=-
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(2)由题意得:
z=(30-
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即z与x之间的函数关系是z=-
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(3)∵当x=160时,z=-
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∴-320=-
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整理,得x2-340x+28800=0,
解得x1=160,x2=180.
即同样的年获利,销售单价还可以定为180元,
当x=160时,y=-
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当x=180时,y=-
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即相应的年销售量分别为14万件和12万件.
(4)∵z=-
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∴当x=170时,z取最大值,为-310,
即当销售单价为170元,年获利最大,并且第一年年底公司还差310万元就可收回全部投资.
第二年的销售单价定为x元时,年获利为:
z=(30-
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当z=1130时,即1130=-
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整理得x2-340x+26400=0,
解得:x1=120,x2=220.
函数z=-
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由图象可以看出:当120≤x≤220时,z≥1130.
故第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内.
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